介绍函数y=2x⁴-x²+5的定义域、值域、单调性、奇偶性、极限和凸凹性，并通过函数的导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间。
方法/步骤
1、函数的定义域：
根据函数的特征，函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。
2、函数的值域：
因为y=2x⁴-x²+5，则：
2x⁴-x²+5-y=0,对x²的二次方程有解，则：
判别式△=4-8(5-y)≥0，即：
8y≥40-4，解得y≥9/2.
故函数的值域为：[9/2,+∞]。
3、函数的单调性：
∵y=2x⁴-x²+5,
∴dy/dx=8x³-4x,令dy/dx=0,则：
8x³-4x=0,
x(4x²-2)=0,即x1=0，或者x²=1/2.
进一步求出：
x1=-√2/2,x2=0,x3=√2/2,
三个点将实数区间分成四个小区间，则：
4、(1)当x∈(-∞,-√2/2],(0,√2/2)时，
dy/dx<0,则此时函数为减函数，该区间为减区间。
(2)当x∈[-√2/2],[√2/2,+∞)时，
dy/dx>0,则此时函数为增函数，该区间为增区间。
通过单调性性可知：
当x0=±√2/2时，函数y有最小值：
ymin=f(±√2/2)
=2*(±√2/2)⁴-2*(±√2/2)²+5
=9/2.
5、函数的奇偶性：
∵f(x)=y=2x⁴-x²+5,
∴f(-x)=2*(-x)²-(-x)²+5
=2x⁴-x²+5=f(x).
即函数f(x)为偶函数，图像关于y轴对称。
6、函数的极限：
lim（x→0）2x⁴-x²+5=5;
lim（x→-∞）2x⁴-x²+5=+∞;
lim（x→+∞）2x⁴-x²+5=+∞.
7、函数的凸凹性
∵dy/dx=8x³-4x,
∴d²y/dx²=24x²-4,令d²y/dx²=0，则：
x²=1/6,求出x1=-√6/6,
x2=√6/6;则：
8、(1)当x∈(-∞,-√6/6),(√6/6,+∞)时，
d²y/dx²>0,则此时函数为凹函数，该区间为凹区间。
(2)当x∈[-√6/6，√6/6]时，
d²y/dx²<0,则此时函数为凸函数，该区间为凸区间。
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