函数33x^2+63y^2+53z^2=55的导数计算过程

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数33x^2+63y^2+53z^2=55的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵33x²+63y²+53z²=55,

∴66xdx+126ydy+106zdz=0，即：

53zdz=-33xdx-63ydy,

dz=-33xdx/53z-63ydy/53z，所以：

dz/dx=-33x/53z，dz/dy=-63y/53z。

2、直接侮特陵求导法：

33x²+63y²+53z²=55,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

66x+0+106zdz/dx=0

53zdz/dx=-33x，即：dz/dx=-33x/53z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+126y+106zdz/dy=0

53zdz/dy=-63y，即：dz/dy=-63y/53z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=33x²+63y²+53z²-55，则：

Fz=106z，Fx=66x，Fy=126y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-66x/106z=-33x/53z;

dz/dy=-Fy/Fz=-126y/106z=-63y/53z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-33x/53z，

∴∂²z/∂²x=-33/53*(z+xdz/dx)/z²

=-33/53*(z+33x²/53z)/z²

=-33/2809*(53z²+33x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂段救²y:

 蚊孝

∵dz/dy=-63y/53z.

∴∂²z/∂²y=-63/53*(z+ydz/dy)/z²

=-63/53*(z+63y²/53z)/z²

=-63/2809*(53z²+63y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-33x/53z，dz/dy=-63y/53z.

∴∂²z/∂x∂y =33/53*(xdz/dy)/z²

=33/53*(-63xy/53z)/z²

=-2079/2809*xy/z³.

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