通过柯西不等式和多元函数最值法介绍代数式2x+2y+7z在x^2+y^2+z^2=2条件下的最大值。
方法/步骤
1、思路一：柯西不等式法
∵(2x+2y+7z)^2≤(2^2+2^2+7^2)(x^2+y^2+z^2)
∴(2x+2y+7z)^2≤57*2
即：
(2x+2y+7z)max=√114.
2、思路二：多元函数最值法
设F(x,y,z)=2x+2y+7z-λ(x^2+y^2+z^2-2),则：
F’x=2-2λx,F’y=2-2λy,F’z=7-2λz,
F’λ=x^2+y^2+z^2-2。
令F’x=F’y=F’z=F’λ=0，则：
x=1/λ,y=1/λ,z=7/2λ。
3、即(1/λ)^2+(1/λ)^2+(7/2λ)^2=2,解得：
4λ^2=57/2,即2λ=±√57/2.
此时2x+2y+7z=(2^2+2^2+7^2)/2λ,
所以：(2x+2y+7z)max=57/√(57/2)=√114。
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