不定积分∫(x-3)dx/(x^3-1)的计算

本文通过分母因式分解及积分函数裂项等方面，以及对数函数、反正切函数等的导数公式等知识，介绍计算∫(x-3)dx/(x^3-1)的主要步骤。

方法/步骤

1、※.积分函数的变形

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),

所以∫(x-3)dx/(x^3-1)=∫(x-3)dx/[(x-1)(x^2+x+1)],

设(x-3)/[(x-1)(x^2+x+1)]=m/(x-1)-(mx+n)/(x^2+x+1),则有：

x-3=m(x^2+x+1)-(mx+n)(x-1)=-(2m+n)x+m-n,

2、根据对应项系数相等，有：

2m-n=1,

m+n=-3，

解该二元一次方程可得：m=-2/3,n=-7/3.

此时不定积分变形为：

∫(x-3)dx/(x^3+1)

=(1/3)*-2∫dx/(x-1)-(1/3)∫(-2x-7)dx/(x^2+x+1)。

3、※.函数积分具体计算：

对∫dx/(x-1)=∫d(x-1)/(x-1)=ln|x-1|;.

对∫(-2x-7)dx/(x^2+x+1)

=1/2*∫[-2 (2x+1)-5]dx/(x^2+x+1)

=1/2*-2∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)- 1/2* 5∫dx/(x^2+x+1)

=1/2*-2∫d(x^2+x+1)/(x^2+x+1)- 1/2* 5∫dx/[(x+1/2)^2+3/4],

=1/2*-2*ln(x^2+x+1)-1/2*5*4/3*∫dx/[4/3(x+1/2)^2+1],

4、=1/2*-2*ln(x^2+x+1)-1/2*5*2/√3*∫d[2/√3(x+1/2)]/{[2/√3(x+1/2)]^2+1},

=1/2*-2*ln(x^2+x+1)-5/√3*arctan[2/√3(x+1/2)],

所以：

∫(x-3) dx/(x^3-1)

=(1/3)*-2* ln|x-1|-(1/3)*-2*ln√(x^2+x+1)+ (1/3)*5/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C，

=-(2/3)*ln|(x-1)/√(x^2+x+1)|+ (1/3)*5/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C。

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