已知x^2+y^2+z^2=2,求2x+3y+z的最大值

通过柯西不等式和多元函数最值法介绍代数式2x+3y+z在x^2+y^2+z^2=2条件下的最大值。

方法/步骤

1、思路一：柯西不等式法

∵(2x+3y+z)^2≤(2^2+3^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)

∴(2x+3y+z)^2≤14*2

即：

(2x+3y+z)max=2√7.

2、思路二：多元函数最值法

设F(x,y,z)=2x+3y+z-λ(x^2+y^2+z^2-2),则：

F’x=2-2λx,F’y=3-2λy,F’z=1-2λz,

F’λ=x^2+y^2+z^2-2。

令F’x=F’y=F’z=F’λ=0，则：

x=1/λ,y=3/2λ,z=1/2λ。

3、即(1/λ)^2+(3/2λ)^2+(1/2λ)^2=2,解得：

4λ^2=7,即2λ=±√7.

此时2x+3y+z=(2^2+3^2+1^2)/2λ,

所以：(2x+3y+z)max=14/√(7)=2√7。

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