函数7x^2+37y^2+35z^2=71的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数7x^2+37y^2+35z^2=71的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵7x²+37y²+35z²=71,

∴14xdx+74ydy+70zdz=0，即：

35zdz=-7xdx-37ydy,

dz=-xdx/5z-37ydy/35z，所以：

dz/dx=-x/5z，dz/dy=-37y/35z。

2、直接求导法：

7x²+37y²+35z²=71,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

14x+0+70zdz/dx=0

35zdz/dx=-7x，即：dz/dx=-1x/5z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+74y+70zdz/dy=0

35zdz/dy=-37y，即：dz/dy=-37y/35z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=7x²+37y²+35z²-71，则：

Fz=70z，Fx=14x，Fy=74y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-14x/70z=-x/5z;

dz/dy=-Fy/Fz=-74y/70z=-37y/35z.

4、二阶偏导数求法：

(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-1x/5z，

∴∂²z/∂²x=-1/5*(z+xdz/dx)/z²

=-1/5*(z+x²/5z)/z²

=-1/25*(5z²+x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-37y/35z.

∴∂²z/∂²y=-37/35*(z+ydz/dy)/z²

=-37/35*(z+37y²/35z)/z²

=-37/1225*(35z²+37y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-1x/5z，dz/dy=-37y/35z.

∴∂²z/∂x∂y =1/5*(xdz/dy)/z²

=1/5*(-37xy/35z)/z²

=-37/175*xy/z³.

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