函数y=(1.0x^3-1.1)lnx的性质归纳详解

本文主要解析函数y=(1.0x^3-1.1)lnx的定义域、单调性、凸凹性等性质，并通过微积分求解函数的单调区间，简要画出函数的示意图。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

根据函数特征，对函数y1=lnx定义域要求自变量为正数，所以本题函数的定义域为：(0,+∞)。

2、※.函数的单调性

本处以导数知识来解析函数的单调性，具体步骤为：

因为y=(1.0x^3-1.1)lnx，对x求导，

所以dy/dx=3*1.0x^2*lnx+(1.0x^3-1.1)*1/x=(3*1.0x^3*lnx+1.0x^3-1.1)/x;

设g(x)=3*1.0x^3*lnx+1.0x^3-1.1有:

g(1)=1.0 -1.10,其中m≥2.

又因为g’ (x)=9*1.0x^2*lnx+3*1.0x^3*1/x+3*1.0x^2=9*1.0x^2*lnx+6*1.0x^2>0,

3、可知g(x)为增函数，则方程3*1.0x^3*lnx+1.0x^3-1.1=0在区间(1,2)上只有一个实数根，

通过切线法求出该近似值为x0=1.016。

则此时函数的单调性为：

(1)当x∈(0, 1.016)时，dy/dx＜0，此时函数为减函数。

(2当x∈[1.016,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数为增函数。

4、※.函数的凸凹性

∵dy/dx= (3*1.0x^3*lnx+1.0x^3-1.1)/x，继续求导有

∴d^2y/dx=[(9*1.0x^2lnx+3*1.0x^3*1/x+3*1.0x^2)*x- (3*1.0x^3*lnx+1.0x^3-1.1)]/x^2

=(9*1.0x^3lnx+3*1.0x^3+3*1.0x^3- 3*1.0x^3*lnx-1.0x^3+1.1)]/x^2

=(6*1.0x^3lnx+5*1.0x^3+1.1)]/x^2。

设k(x)=6*1.0x^3lnx+5*1.0x^3+1.1，则k'(x)=18*1.0x^2lnx+21*1.0x^2=3*1.0x^2(6*lnx+7)。

5、令k'(x)=0，则lnx=-7/6，即x=e^(-7/6)，此时有：

(1)当x∈(0, e^(-7/6))时，k'(x)＜0，则函数k(x)为减函数；

(2)当x∈[e^(-7/6),+∞)时，k'(x)＞0，则函数k(x)为增函数。

故当x=e^(-7/6)，则函数k(x)取最小值，即：

k(x)=6*1.0x^3lnx+5*1.0x^3+1.1≥1.0*e^(-7/2)*[6*lne^(-7/6)+5]+1.1=1.1-2*1.0/e^(7/2)>0,

所以d^2y/dx＞0，此时函数y为凹函数。

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