解析f(x)=(3x-1)³√(15x+16)²的单调和凸凹性质

本文介绍函数y=(3x-1)³√(15x+16)²的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过函数导数工具，计算函数y=(3x-1)³√(15x+16)²的单调和凸凹区间。

方法/步骤

1、★.函数的定义域

根据函数特征，可知函数的自变量x可以取任意实数，所以函数y=(3x-1)³√(15x+16)²的定义域为：(-∞，+∞)。

2、★.函数的单调性

用函数的导数知识来判断，具体步骤如下：

y=(3x-1)³√(15x+16)²，函数y对x求导，得：

y’=3*³√(15x+16)²+(3x-1)*30/[3*³√(15x+16)],

=[9(15x+16)+30(3x-1)]/[3*³√(15x+16)],

=(225x+114)/[3*³√(15x+16)],

3、令y’=0,则225x+114=0，即：

x=-38/75。下面需要判断导数y’的符号问题，

分母零点x0=-16/15,又函数的定义域为全体实数，则有：

(1)当x∈(-∞，-16/15]和[-38/75,+∞]时，y’>0,

此时函数y为增函数，该区间为增区间。

(2)当x∈(-16/15,-38/75)时，y’<0,

此时函数y为减函数，该区间为减区间。

4、进一步可得，在x=-16/15取得极大值，在x=-38/75处取得极小值，所以：y极大值=f(-16/15)=0,

y极小值=f(-38/75)=-63/125*³√8820。

5、★.函数的极限

lim(x→-∞)(3x-1)³√(15x+16)²=-∞

lim(x→+∞)(3x-1)³√(15x+16)²=+∞

6、★.函数的凸凹性

∵y’=（225x+114）/[3*³√(15x+16)]，

∴y”={225*³√(15x+16)-(225x+114)*15/[3*³√(15x+16)^2]}/[3*³√(15x+16)^2]

=[3*225*(15x+16)-(225x+114)*15]/[9*³√(15x+16)^4]

=10/1*(75x+101)/³√(15x+16)^4].

7、令y”=0，则75x+101=0，求出x=-101/75,

此时，函数凸凹性及凸凹区间为：

(1)当x∈(-∞，-101/75)时，y”<0，则此时函数为凸函数。

(2)当x∈[-101/75,+∞)时，y”>0，则此时函数为凹函数。

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