已知函数y=270x³-763x，通过导数知识，求以下有关问题:(1)判断函数的奇偶性；(2)求解函数的一阶和二阶导数；(3)求函数f(x)在点A(4,f(4))处的切线；(4)计算函数f(x)单调区间及极值。
方法/步骤
1、(1)判断函数的奇偶性:
∵f(x)=270x³-763x,
∴f(-x)=270(-x)³-763*(-x)
=-270x³+763x
=-(270x³-763x)=-f(x),
即：f(-x)=f(x),所以函数为奇函数。
2、(2)求解函数的一阶和二阶导数：
本题所给函数为y=270x³-763x,用到和差函数求导法则及幂函数导数公式，有：
y´=(270x³)´-(763x)´=810x²-763,
进一步对x求导，即可计算出二阶导数为：
y´´=(810x²)´-763´=1620x.
3、(3)求函数f(x)在点A(4,f(4))处的切线:
当x=4时，y(4)=270*4³-763*4=14228;
由(2)可知，函数的一阶导数y´=810×2-763,
当x=4时，y´(4)=810*42-763=12197，即为切线的斜率。则切线的方程为:
y-14228=12197(x-4),化为一般方程为：
y-12197x+34560=0。
4、(4)计算函数f(x)单调区间及极值：
因为y´=810×2-763，令y´=0，则x=±√(763/810).
1).当x∈(-∞，-√(763/810))和(√(763/810)，+∞)时，y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。
2).当x∈[-√(763/810), √(763/810)]时，y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。
5、则在x1=-√(763/810)处取极大值，在x2=√(763/810)处取极小值。所以：
极大值=f(-√(763/810))=-270(√(763/810))³-763*(-√(763/810))=(763/135)√7630;
极小值=f(√(763/810))=270(√(763/810))³-763*(√(763/810))=-(763/135)√7630。
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