函数y=160x³-718x,求切线及极值等问题

已知函数y=160x³-718x，通过导数知识，求以下有关问题:(1)判断函数的奇偶性；(2)求解函数的一阶和二阶导数；(3)求函数f(x)在点A(2,f(2))处的切线；(4)计算函数f(x)单调区间及极值。

方法/步骤

1、(1)判断函数的奇偶性:

∵f(x)=160x³-718x,

∴f(-x)=160(-x)³-718*(-x)

       =-160x³+718x

=-(160x³-718x)=-f(x),

即：f(-x)=f(x),所以函数为奇函数。

2、(2)求解函数的一阶和二阶导数：

本题所给函数为y=160x³-718x,用到和差函数求导法则及幂函数导数公式，有：

y´=(160x³)´-(718x)´=480x²-718,

进一步对x求导，即可计算出二阶导数为：

    y´´=(480x²)´-718´=960x.

3、(3)求函数f(x)在点A(2,f(2))处的切线:

当x=2时，y(2)=160*2³-718*2=-156;

由(2)可知，函数的一阶导数y´=480×2-718,

当x=2时，y´(2)=480*22-718=1202，即为切线的斜率。则切线的方程为:

y+156=1202(x-2),化为一般方程为：

y-1202x+2560=0。

4、(4)计算函数f(x)单调区间及极值：

因为y´=480×2-718，令y´=0，则x=±√(359/240).

1).当x∈(-∞，-√(359/240))和(√(359/240)，+∞)时，y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。

2).当x∈[-√(359/240), √(359/240)]时，y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。

5、则在x1=-√(359/240)处取极大值，在x2=√(359/240)处取极小值。所以：

极大值=f(-√(359/240))=-160(√(359/240))³-718*(-√(359/240))=(359/45)√5385;

极小值=f(√(359/240))=160(√(359/240))³-718*(√(359/240))=-(359/45)√5385。

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