已知函数y=86x³-103x，通过导数知识，求以下有关问题:(1)判断函数的奇偶性；(2)求解函数的一阶和二阶导数；(3)求函数f(x)在点A(0,f(0))处的切线；(4)计算函数f(x)单调区间及极值。
方法/步骤
1、(1)判断函数的奇偶性:
∵f(x)=86x³-103x,
∴f(-x)=86(-x)³-103*(-x)
=-86x³+103x
=-(86x³-103x)=-f(x),
即：f(-x)=f(x),所以函数为奇函数。
2、(2)求解函数的一阶和二阶导数：
本题所给函数为y=86x³-103x,用到和差函数求导法则及幂函数导数公式，有：
y´=(86x³)´-(103x)´=258x²-103,
进一步对x求导，即可计算出二阶导数为：
y´´=(258x²)´-103´=516x.
3、(3)求函数f(x)在点A(0,f(0))处的切线:
当x=0时，y(0)=86*0³-103*0=0;
由(2)可知，函数的一阶导数y´=258×2-103,
当x=0时，y´(0)=258*02-103=-103，即为切线的斜率。则切线的方程为:
y-0=-103(x-0),化为一般方程为：
y+103x=0。
4、(4)计算函数f(x)单调区间及极值：
因为y´=258×2-103，令y´=0，则x=±√(103/258).
1).当x∈(-∞，-√(103/258))和(√(103/258)，+∞)时，y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。
2).当x∈[-√(103/258), √(103/258)]时，y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。
5、则在x1=-√(103/258)处取极大值，在x2=√(103/258)处取极小值。所以：
极大值=f(-√(103/258))=-86(√(103/258))³-103*(-√(103/258))=(103/387)√26574;
极小值=f(√(103/258))=86(√(103/258))³-103*(√(103/258))=-(103/387)√26574。
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