已知函数y=169x³-421x，通过导数知识，求以下有关问题:(1)判断函数的奇偶性；(2)求解函数的一阶和二阶导数；(3)求函数f(x)在点A(4,f(4))处的切线；(4)计算函数f(x)单调区间及极值。
方法/步骤
1、(1)判断函数的奇偶性:
∵f(x)=169x³-421x,
∴f(-x)=169(-x)³-421*(-x)
=-169x³+421x
=-(169x³-421x)=-f(x),
即：f(-x)=f(x),所以函数为奇函数。
2、(2)求解函数的一阶和二阶导数：
本题所给函数为y=169x³-421x,用到和差函数求导法则及幂函数导数公式，有：
y´=(169x³)´-(421x)´=507x²-421,
进一步对x求导，即可计算出二阶导数为：
y´´=(507x²)´-421´=1014x.
3、(3)求函数f(x)在点A(4,f(4))处的切线:
当x=4时，y(4)=169*4³-421*4=9132;
由(2)可知，函数的一阶导数y´=507×2-421,
当x=4时，y´(4)=507*42-421=7691，即为切线的斜率。则切线的方程为:
y-9132=7691(x-4),化为一般方程为：
y-7691x+21632=0。
4、(4)计算函数f(x)单调区间及极值：
因为y´=507×2-421，令y´=0，则x=±√(421/507).
1).当x∈(-∞，-√(421/507))和(√(421/507)，+∞)时，y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。
2).当x∈[-√(421/507), √(421/507)]时，y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。
5、则在x1=-√(421/507)处取极大值，在x2=√(421/507)处取极小值。所以：
极大值=f(-√(421/507))=-169(√(421/507))³-421*(-√(421/507))=(842/117)√1263;
极小值=f(√(421/507))=169(√(421/507))³-421*(√(421/507))=-(842/117)√1263。
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