隐函数72x^63x+74e^19y=47x^9y的导数计算

     本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数72x^63x+74e^19y=47x^9y的导数计算的主要过程和步骤。

主要方法与步骤

1、※.链式求导法

72x^63x+74e^19y=47x^9y,

隐函数变形有：

72e^(63xlnx)+ 74e^19y=47e^(9ylnx)

两边同时求导有：

72e^(63xlnx)*(63lnx+63x/x)+74e^19y*19y’=47e^(9ylnx)*(9y’lnx+9y/x),

4536e^(63xlnx)*(lnx+1)+1406e^19y*y’=423e^(9ylnx)*(y’lnx+y/x),

y’=[423e^(9ylnx)*y/x-4536e^(63xlnx)*(lnx+1)]/[ 1406e^19y-423e^(9ylnx)lnx]

=[423e^(9ylnx)*y/x-4536e^(63xlnx)*(lnx+1)]/[1406e^19y-423e^(9ylnx)lnx]

=[423*x^9y*y/x-4536*x^63x*(lnx+1)]/( [1406e^19y-423*x^9ylnx)

=[423*y*x^(9y-1) -4536*x^63x*(lnx+1)]/( 1406e^19y-423*x^9ylnx)。

2、隐函数变形为：

72e^(63xlnx)+74e^19y=47e^(9ylnx)，

使用全微分计算法，有：

72e^(63xlnx)*(63lnxdx+63dx)+1406*e^19ydy=47e^(9ylnx)*(9lnxdy+9ydx/x)

4536*e^(63xlnx)*(lnx+1)dx+1406*e^19ydy=423*e^(9ylnx)*lnxdy+423*e^(9ylnx)ydx/x

[1406*e^19y-423*e^(9ylnx)*lnx]dy=[423*e^(9ylnx)y/x-4536*e^(63xlnx)*(lnx+1)]dx

[1406*e^19y-423*x^9y*lnx]dy=[423*yx^(9y-1)- 4536*x^63x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[423*yx^(9y-1)- 4536*x^63x*(lnx+1)] / [1406*e^19y-423*x^9y*lnx]

=1 [423*y*x^(9y-1) -4536*x^63x*(lnx+1)]/( 1406e^19y-423*x^9ylnx)。

3、设F(x,y)=72x^63x+74e^19y-47x^9y，则F对x,y的偏导数有：

F’x=72e^(63xlnx)*(63lnx+63)-47e^(9ylnx)*9y/x

=4536*e^(63xlnx)(lnx+1)-423*x^9y*y/x

=4536*x^63x*(lnx+1)-423*y*x^(9y-1),

F’y=1406*e^19y-47e^(9ylnx)* 9lnx

=1406*e^19y-423*x^9y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y’=-F’x/ F’y

=-[4536*x^63x*(lnx+1)- 423*y*x^(9y-1)]/(1406*e^19y-423*x^9y*lnx),

=[423*y*x^(9y-1) -4536*x^63x*(lnx+1)]/(1406e^19y-423*x^9ylnx)。

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