计算3√2022的近似值

本文主要通过穿插法、微分法、导数法以及泰勒公式法，介绍计算三次根式3√2022近似值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、设³√2022=x，并找与之最近的两个立方数，有：

³√1728=12,

³√2022=x,

³√2197=13,用线性穿插得：

(2022-1728)/(2197-2022)=(x-12)/(13-x)

294(13-x)=175(x-12)

469x=5922

x=846/67≈12.6268.

2、对于本题有：

³√2022-³√2197=(2022-2197)/(3*³√21972)

³√2022=³√2197-175/(3*132)

³√2022=13-175/507

≈12.6548.

3、原理：当x趋近无穷小时，有(1±x)a≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

³√2022=³√(2197-175）

³√2022=³√[2197(1-175/2197）]

=13*³√(1-175/2197）

=13*[1-175/(3*2197)]

=13-175/507

≈12.6548.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)(x-x0)/1!+f”(x0)(x-x0)²/2!+O(x3)

∴f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f”(x0)(x-x0)²/2+O(x3)

其中O(x3)表示x的三次无穷小。

5、³√2022

≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²

≈³√2197+(1/3)2197-2/3*(2022-2197)-(1/9)2197-5/3*(2022-2197)²

≈³√2197+(1/9)2197-5/3*(2022-2197)(4*2197-2022)

≈13-175*6766/(9*135)。

即：

³√2022≈12.6456。

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