已知2a+36b=9,七种方法计算ab最大值详细步骤

      本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、思路一：直接代罪蚊入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(1/4-1/18*a)

=-1/18*a^2+1/4*a

=-1/18(a-9/4)^2+9/32，

则当a=9/4时，ab有最大值为9/32。

2、思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数番案性质得ab的取值范围。

2a+36b=9,

2a+36p/a=9,

2a^2-9a+36p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-288p≥0,即：

p≤9/32,

此时得ab=p的最大值=9/32。

3、思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+36b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，36b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=1/4(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*1/4(sint)^2,

=9/32*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=9/32。

4、思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,36b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/36)(9/2-t)

此时有：

ab=1/72*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/72*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤9/32,

则ab的最大值为9/32。

5、思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+36b≥2√72*ab,

∴(2a+36b)^2≥288*ab,

81≥288*ab,

即：ab≤9/32,

则ab的最大值为9/32。

6、思路六：数形几何法

如图，设直线2a+36b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：   惹板攀             

2a0+36b0=9,b0=a0tanθ,                     

2a0+36a0tanθ=9，得

a0=9/(2+36tanθ),                    

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+36tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+144+1296|tanθ|]

≤81/(144+144)=9/32。

则ab的最大值=9/32.

7、思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+36b-9),

则偏导数f’a=b-2λ,f’b=a-36λ,

f’λ=2a+36b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=2λ,a=36λ。进一步代入得：

72λ+72λ=9,即λ=1/16.

则有a=9/4,b=1/8.

ab的最大值=9/4*1/8=9/32。

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