当x^2+y^2=15条件下求(x-y)^2最大值步骤

已知x2+y2=15,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=30-(x+y)2≤30,

则(x-y)2的最大值=30。

2、 

思路二：三角换元法

设x=√15sint,y=√15cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(√15sint)2+(√15cost)2-2*√15sint*√15cost

=15-15sin2t

=15(1-sin2t)

即：

(x-y)2的最大值=15*[1-(-1)]=30。

3、思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=15

x2+x2-2xt+t2-15=0

2×2-2xt+t2-15=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t2-8(t2-15)≥0，即：

t2≤30，

故(x-y)2=t2的最大值=30。

4、 

思路四：中值替换法

设x2=15/2+t,y2=15/2-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=15/2+t+2√[(15/2+t)(15/2-t)]+15/2-t

=15+2√[(152/4-t2)]

≥15+15=30。

5、思路五：不等式法

因为(x-y)2=x2-2xy+y2

=15-2xy.

当x，y异号时xy最小，则(x-y)2有最大值。

又因为:

x2+y2

=15≥2xy,

则2xy的最小值=-15。

所以(x-y)2的最大值=15-(-15)=30。

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