方程曲线y=e^(264x+197y)图像画法步骤

   本经验通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等，介绍函数y=e^(264x+197y)的图像的主要步骤。

方法/步骤

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(264x+197y),即y>0,取对数有：

lny=264x+197y，则：264x=lny-197y.

设264x=F(y)=lny-197y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-197=(1-197y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/197≈0.005.

1)当0<y0;

2)当y>1/197时，F'(y)<0。

所以，当y=1/197时，F(y)有最大值，即：

264x≤F(y)max=-(1+ln197)

x≤-(1+ln197)/264≈-0.024.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.024]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(264x+197y)

y’=e^(264x+197y)(264+197y＇)

y’=264e^(264x+197y)/[1-197e^(264x+197y)]

即：y’=264y/(1-197y).

导数y’的符号与(1-197y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/197]时，y’＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/197,+∞）时，y’＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、※.方程曲线的凸凹性

∵y’=-264y/(197y-1)，

∴y”=-264[y'(197y-1)-197yy’]/(197y-1)²

=-264y’/(197y-1)²

=264²y/(1-197y)³，则y”的符号与(1-197y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/197]时，y”＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/197,+∞）时，y”＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

4、函数的五点图及函数的图像示意图如下所示。

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