已知x^2+y^2=14,求(x-y)^2最大值步骤

已知x2+y2=14,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=28-(x+y)2≤28,

则(x-y)2的最大值=28。

2、思路二：三角换元法

设x=√14sint,y=√14cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(√14sint)2+(√14cost)2-2*√14sint*√14cost

=14-14sin2t

=14(1-sin2t)

即：

(x-y)2的最大值=14*[1-(-1)]=28。

3、思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=14

x2+x2-2xt+t2-14=0

2×2-2xt+t2-14=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t2-8(t2-14)≥0，即：

t2≤28，

故(x-y)2=t2的最大值=28。

4、思路四：中值替换法

设x2=7+t,y2=7-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=7+t+2√[(7+t)(7-t)]+7-t

=14+2√[(142/4-t2)]

≥14+14=28。

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