如何计算√13399的近似值?

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√13399=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√13225=115,

√13399=x,

√13456=116,用线性穿插得：

(13399-13225)/(13456-13399)=(x-115)/(116-x)

174(116-x)=57(x-115)

231x=26739

x=8913/77≈115.7532.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√13399-√13225=(13399-13225)/(2√13225)

√13399=√13225+174/(2*115)

√13399=115+87/115≈115.7565.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√13399=√(13225+174）

√13399=√[13225(1+174/13225）]

=115√(1+174/13225）

=115*[1+174/(2*13225)]

=115+87/115≈115.7565.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=13399，x₀=13225,x-x₀=174,代入得：

6、√13399

≈√13225+87*13225^(-1/2)-(1/8)*174²*13225^(-3/2)

≈115+87*115⁻¹-(1/8)*174²*115⁻³

≈115+87/115-174²/(8*115³)

即：√13399≈115.7540。

7、

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