高中数学二次项定理应用习题举例详解C20

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.求二项展开式(4x+2)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(4x+2)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(4+2)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(4-2)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(4+2)⁵+(4-2)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=7776+32,

2(a₁+a₃+a₅)=7808,所以：a₁+a₃+a₅=3904。

2、※.已知[a/90x-√(x/3)]^15的展开式中x^6的系数为7/6，求常数a的值。

解：展开式通式Tᵣ =C(15,r)*(a/90x)^(15-r)*[-√(x/3)]^r,

=C(15,r)*a^(15-r)*(90x)^(r-15)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),

=C(15,r)*(-1)^r*a^(15-r)*90^(r-15)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-15),

=C(15,r)*(-1)^r*(a/90)^(15-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-15),

根据题意有：

3r/2-15=6,求出r=14，代入有：

15-r=15-14=1,

C(15,r)=C(15,14)=15，

(-1)^r=(-1)^14=1，

(1/3)^(r/2)= (1/3)^7

根据系数关系有：

15*a/90*(1/3)^7=7/6,

即：a=7/6*3^7*90/15,所以a=15309.

3、※.在(3-x)^5*(20+43x)展开式中，x^2的系数是多少？

解：对(3-x)^5来说，展开通项有：

Tᵣ=C(5,r)* 3^(5-r)*(-x)^r

=C(5,r)* 3^(5-r)*(-1)^r* x^r

题意要求x^2的系数，考虑到20+43x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：

T=T₁+T₂

=20*C(5,2)*3^(5-2)*(-1)^2+43*C(5,1)*3^(5-1)*(-1)^1

=20*270-43*405=5400-17415=-12015.

4、※.若(x^3+2/x^2)^n的展开式各系数的和为243，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(1+2)^n=243,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(x^3)^(5-r)*(2/x^2)^r

=C(5,r)*1^(5-r)*x^(3*5-3r)*2^r *x^(-2r)

=C(5,r)*1^(5-r)*2^r*x^(3*5-3r-2r)

因为求常数，所以：3*5-3r-2r=0，

即r=3，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*1^(5-r)*2^r

=C(5, 3)*1^(5-3)*2^r=10*1*8=80.

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