高中数学二次项定理应用习题举例详解C15

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.求二项展开式(2x+3)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(2x+3)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(2+3)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(2-3)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(2+3)⁵+(2-3)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=3125-1,

2(a₁+a₃+a₅)=3124,所以：a₁+a₃+a₅=1562。

2、※.在(1-3x)^6*(39+51x)展开式中，x^3的系数是多少？

解：对(1-3x)^6来说，展开通项有：

Tᵣ=C(6,r)* 1^(6-r)*(-3x)^r

=C(6,r)* 1^(6-r)*(-3)^r* x^r

题意要求x^3的系数，考虑到39+51x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=3和r=2，则：

T=T₁+T₂

=39*C(6,3)*1^(6-3)*(-3)^3+51*C(6,2)*1^(6-2)*(-3)^2

=-39*540+51*135=-21060+6885=-14175.

3、※.已知[a/30x-√(x/3)]^15的展开式中x^6的系数为7/6，求常数a的值。

解：展开式通式Tᵣ =C(15,r)*(a/30x)^(15-r)*[-√(x/3)]^r,

=C(15,r)*a^(15-r)*(30x)^(r-15)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),

=C(15,r)*(-1)^r*a^(15-r)*30^(r-15)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-15),

=C(15,r)*(-1)^r*(a/30)^(15-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-15),

根据题意有：

3r/2-15=6,求出r=14，代入有：

15-r=15-14=1,

C(15,r)=C(15,14)=15，

(-1)^r=(-1)^14=1，

(1/3)^(r/2)= (1/3)^7

根据系数关系有：

15*a/30*(1/3)^7=7/6,

即：a=7/6*3^7*30/15,所以a=5103.

4、※.若(x^4+1/x)^n的展开式各系数的和为32，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(1+1)^n=32,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(x^4)^(5-r)*(1/x)^r

=C(5,r)*1^(5-r)*x^(4*5-4r)*1^r *x^(-r)

=C(5,r)*1^(5-r)*1^r*x^(4*5-4r-r)

因为求常数，所以：4*5-4r-r=0，

即r=4，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*1^(5-r)*1^r

=C(5, 4)*1^(5-4)*1^r=5*1*1=5.

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