计算√17287的近似值步骤

经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√17287=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√17161=131,

√17287=x,

√17424=132,用线性穿插得矿肥：

(17287-17161)/(17424-17287)=(x-131)/(132-x)

126(132-x)=137(x-131)

263x=34579

x=34579/263≈131.4791.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√17287-√17161=(17287-17161)/(2√17161)

√17287=√17161+126/(2*131)

√17287=131+63/131≈131.4809.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√17287=√(17161+126）

√17287=√[17161(1+126/17161）]

=131√(1+126/17161）

=131*[1+126/(2*17161)]

=131+63/131≈131.4809.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小趴此央。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

6、对于本题，x=17287，x₀=17161,x-x₀=126,代入得：

√17287

≈√17161+63*17161^(-1/2)-(1/8)*126²*17161^(-3/2)

≈131+63*131⁻¹-(1/8)*126²*131⁻³

≈131+63/131-126²/(8*131³)

即：√17287≈131.4800。

7、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，国侨精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

8、2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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