三维不等式柯西定理应用举例详解A2

     本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

方法/步骤

1、三维不等式柯西定理：

(c₁²+c₂²+c₃²)(d₁²+d₂²+d₃²)≥(c₁d₁+c₂d₂+c₃d₃)²。

定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(c₁+d₁x)²+(c₂+d₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(d₁²+d₂²)x²+2(c₁d₁+c₂d₂)x+(c₁²+c₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(c₁d₁+c₂d₂)²−4(d₁²+d₂²)(c₁²+c₂²)≤0

所以: (d₁²+d₂²)(c₁²+c₂²)≥(c₁d₁+c₂d₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

c₁+d₁x=0⇒x=−c₁/d₁,

c₂+d₂x=0⇒x=−c₂/d₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

c₁/d₁=c₂/d₂,证毕。

2、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=193,x²+y²+z²=181,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

193*181≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤34933,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤√34933，

所以ax+by+cz的最小值为：√34933.

3、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=341,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

341*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤1023，

所以正数x+y+z的最小值=√1023。

4、※.若a+b+c=25,求121a²+121b²+36c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

121a²+121b²+36c²=(11a)²+(11b)²+(6c)²

进一步变形为：

[(11a)²+(11b)²+(6c)²][(1/11)²+(1/11)²+(1/6)²]，

≥[(11a/11)+(11b /11)+(6c/6)]²，

=(a+b+c)²=25²，即：

(121a²+121b²+36c²)*(193*11²/726²)≥25²，

所以：121a²+121b²+36c²≥(1/193)*1650²。

5、※.若34x+6y+18z=121,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(34²+6²+18²)≥(34x+6y+18z)²,即：

(x²+y²+z²)(34²+6²+18²)≥121²,

(x²+y²+z²)*379*2²≥121²,

x²+y²+z²≥121²/(379*2²),

即：x²+y²+z²≥14641/1516,

所以x²+y²+z²的最小值=14641/1516。

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