在满足x^2+y^2=16条件下求(x-y)^2最大值步骤

已知x2+y2=16,介绍通过等式变换、三角换元、判别式法、中值替换等方法求(x-y)2的最大值的步骤。

方法/步骤

1、思路一：等式变换

因为(x-y)2=x2+y2-2xy

又：(x+y)2=x2+y2+2xy

所以两式相加得：

(x-y)2+(x+y)2=2(x2+y2),

等式变换得：

(x-y)2=2(x2+y2)-(x+y)2

即：(x-y)2=32-(x+y)2≤32,

则(x-y)2的最大值=32。

2、思路二：三角换元法

设x=4sint,y=4cost，则：

(x-y)2

=x2-2xy+y2

=(4sint)2+(4cost)2-2*4sint*4cost

=16-16sin2t

=16(1-sin2t)

即：

(x-y)2的最大值=16*[1-(-1)]=32。

3、思路三：判别式法

设x-y=t，则y=x-t,代入已知条件得：

x2+(x-t)2=16

x2+x2-2xt+t2-16=0

2×2-2xt+t2-16=0,

把方程看成x的二次方程，则：

判别式△=4t2-8(t2-16)≥0，即：

t2≤32，

故(x-y)2=t2的最大值=32。

4、思路四：中值替换法

设x2=8+t,y2=8-t,

代入所求代数式得：

(x-y)2的最大值

=x2-2xy+y2,当xy乘积为负数时，有最大值。

=8+t+2√[(8+t)(8-t)]+8-t

=16+2√[(64-t2)]

≥16+16=32。

5、思路五：不等式法

因为(x-y)2=x2-2xy+y2

=16-2xy.

当x，y异号时xy最小，则(x-y)2有最大值。

又因为:

x2+y2

=16≥2xy,

则2xy的最小值=-16。

所以(x-y)2的最大值=16-(-16)=32。

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除