计算√17523的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√17523=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√17424=132,

√17523=x,

√17689=133,用线性穿插得：

(17523-17424)/(17689-17523)=(x-132)/(133-x)

99(133-x)=166(x-132)

265x=35079

x=35079/265≈132.3736.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√17523-√17424=(17523-17424)/(2√17424)

√17523=√17424+99/(2*132)

√17523=132+3/8≈132.3750.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√17523=√(17424+99）

√17523=√[17424(1+99/17424）]

=132√(1+99/17424）

=132*[1+99/(2*17424)]

=132+3/8≈132.3750.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=17523，x₀=17424,x-x₀=99,代入得：

√17523

≈√17424+(99/2)*17424^(-1/2)-(1/8)*99²*17424^(-3/2)

≈132+(99/2)*132⁻¹-(1/8)*99²*132⁻³

≈132+3/8-99²/(8*132³)

即：√17523≈132.3745。

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