微分法等计算√15795的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√15795=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√15625=125,

√15795=x,

√15876=126,用线性穿插得：

(15795-15625)/(15876-15795)=(x-125)/(126-x)

170(126-x)=81(x-125)

251x=31545

x=31545/251≈125.6773.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√15795-√15625=(15795-15625)/(2√15625)

√15795=√15625+170/(2*125)

√15795=125+17/25≈125.6800.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√15795=√(15625+170）

√15795=√[15625(1+170/15625）]

=125√(1+170/15625）

=125*[1+170/(2*15625)]

=125+17/25≈125.6800.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

5、对于本题，x=15795，x₀=15625,x-x₀=170,代入得：

√15795

≈√15625+(85/1)*15625^(-1/2)-(1/8)*170²*15625^(-3/2)

≈125+(85/1)*125⁻¹-(1/8)*170²*125⁻³

≈125+17/25-170²/(8*125³)

即：√15795≈125.6782。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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