极限法等计算√15402的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√15402=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√15376=124,

√15402=x,

√15625=125,用线性穿插得：

(15402-15376)/(15625-15402)=(x-124)/(125-x)

26(125-x)=223(x-124)

249x=30902

x=30902/249≈124.1044.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√15402-√15376=(15402-15376)/(2√15376)

√15402=√15376+26/(2*124)

√15402=124+13/124≈124.1048.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√15402=√(15376+26）

√15402=√[15376(1+26/15376）]

=124√(1+26/15376）

=124*[1+26/(2*15376)]

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

5、对于本题，x=15402，x₀=15376,x-x₀=26,代入得：

√15402

≈√15376+13*15376^(-1/2)-(1/8)*26²*15376^(-3/2)

≈124+13*124⁻¹-(1/8)*26²*124⁻³

≈124+13/124-26²/(8*124³)

即：√15402≈124.1048。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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