求I=∫81x^3/√(62-7x^2)dx不定积分步骤

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(81/7)[x(62-7x^2)-62x]dx/√(62-7x^2)

=-(81/7)∫x(62-7x^2)dx/√(62-7x^2)+ (5022/7)∫xdx/√(62-7x^2)

=-(81/7)∫x√(62-7x^2)dx-2511*1/7^2∫d(62-7x^2)/√(62-7x^2)

=(81 *1/7^2∫√(62-7x^2)d(62-7x^2)- 5022*1/7^2√(62-7x^2)

=(4 *1/7^2√(62-7x^2)^3-5022*1/7^2*√(62-7x^2)+c

2、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=81∫x^2*xdx/√(62-7x^2)

   =-(81/14)∫x^2d(62-7x^2)/√(62-7x^2)

   =-(81/14)∫x^2d√(62-7x^2)=-(81/14)x^2√(62-7x^2)+(81/14) ∫√(62-7x^2)dx^2

   =-(81/14)x^2√(62-7x^2)-(81/2)*1/7^2∫√(62-7x^2)d(62-7x^2)

   =-(81/14)x^2√(62-7x^2)-27*1/7^2√(62-7x^2)^3+c

3、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(62/7)sint，则cost=(1/√62)√(62-7x^2),此时：

I=(5022/7)*√(62/7)∫sin^3td[√(62/7)sint]/√(62-62sin^2t),

=81*(62/7)^2∫sin^3tcostdt/√62*cost,

=(5022√62 /7^2)∫sin^3tdt,

=(5022√62 /7^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=

4、(5022√62 /7^2)∫sintdt-(5022√62 /7^2)∫sintcos^2 tdt

=-(5022√62 /7^2)cost+(5022√62 /7^2)∫cos^2tdcost=-(5022√62 /7^2)cost+(5022√62 /3*7^2)cos^3t+c

 =-(5022/7^2)√(62-7x^2)+27*(1/7^2)√(62-7x^2)^3+c. 

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