本文主要解析函数y=(0.2x^3-0.3)lnx的定义域、单调性、凸凹性等性质，并通过微积分求解函数的单调区间，简要画出函数的示意图。
方法/步骤
1、※.函数的定义域
根据函数特征，对函数y1=lnx定义域要求自变量为正数，所以本题函数的定义域为：(0,+∞)。
2、※.函数的单调性
本处以导数知识来解析函数的单调性，具体步骤为：
因为y=(0.2x^3-0.3)lnx，对x求导，
所以dy/dx=3*0.2x^2*lnx+(0.2x^3-0.3)*1/x=(3*0.2x^3*lnx+0.2x^3-0.3)/x;
设g(x)=3*0.2x^3*lnx+0.2x^3-0.3有:
g(1)=0.2 -0.30,其中m≥2.
又因为g’ (x)=9*0.2x^2*lnx+3*0.2x^3*1/x+3*0.2x^2=9*0.2x^2*lnx+6*0.2x^2>0,
3、可知g(x)为增函数，则方程3*0.2x^3*lnx+0.2x^3-0.3=0在区间(1,2)上只有一个实数根，
通过切线法求出该近似值为x0=1.073。
则此时函数的单调性为：
(1)当x∈(0, 1.073)时，dy/dx＜0，此时函数为减函数。
(2当x∈[1.073,+∞)时，dy/dx≥0，此时函数为增函数。
4、※.函数的凸凹性
∵dy/dx= (3*0.2x^3*lnx+0.2x^3-0.3)/x，继续求导有
∴d^2y/dx=[(9*0.2x^2lnx+3*0.2x^3*1/x+3*0.2x^2)*x- (3*0.2x^3*lnx+0.2x^3-0.3)]/x^2
=(9*0.2x^3lnx+3*0.2x^3+3*0.2x^3- 3*0.2x^3*lnx-0.2x^3+0.3)]/x^2
=(6*0.2x^3lnx+5*0.2x^3+0.3)]/x^2。
设k(x)=6*0.2x^3lnx+5*0.2x^3+0.3，则k'(x)=18*0.2x^2lnx+21*0.2x^2=3*0.2x^2(6*lnx+7)。
5、令k'(x)=0，则lnx=-7/6，即x=e^(-7/6)，此时有：
(1)当x∈(0, e^(-7/6))时，k'(x)＜0，则函数k(x)为减函数；
(2)当x∈[e^(-7/6),+∞)时，k'(x)＞0，则函数k(x)为增函数。
故当x=e^(-7/6)，则函数k(x)取最小值，即：
k(x)=6*0.2x^3lnx+5*0.2x^3+0.3≥0.2*e^(-7/2)*[6*lne^(-7/6)+5]+0.3=0.3-2*0.2/e^(7/2)>0,
所以d^2y/dx＞0，此时函数y为凹函数。
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