如何计算函数77x^2+33y^2+27z^2=88的导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数77x^2+33y^2+27z^2=88的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵77x²+33y²+27z²=88,

∴154xdx+66ydy+54zdz=0，即：

27zdz=-77xdx-33ydy,

dz=-77xdx/27z-11ydy/9z，所以：

dz/dx=-77x/27z，dz/dy=-11y/9z。

2、 

直接求导法：

77x²+33y²+27z²=88,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

154x+0+54zdz/dx=0

27zdz/dx=-77x，即：dz/dx=-77x/27z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+66y+54zdz/dy=0

27zdz/dy=-33y，即：dz/dy=-11y/9z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=77x²+33y²+27z²-88，则：

Fz=54z，Fx=154x，Fy=66y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-154x/54z=-77x/27z;

dz/dy=-Fy/Fz=-66y/54z=-11y/9z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-77x/27z，

∴∂²z/∂²x=-77/27*(z+xdz/dx)/z²

=-77/27*(z+77x²/27z)/z²

=-77/729*(27z²+77x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-11y/9z.

∴∂²z/∂²y=-11/9*(z+ydz/dy)/z²

=-11/9*(z+11y²/9z)/z²

=-11/81*(9z²+11y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-77x/27z，dz/dy=-11y/9z.

∴∂²z/∂x∂y =77/27*(xdz/dy)/z²

=77/27*(-11xy/9z)/z²

=-847/243*xy/z³.

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