I=∫28x^3/√(28-49x^2)dx不定积分的几种放放歌

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(4/7)[x(28-49x^2)-28x]dx/√(28-49x^2)

=-(4/7)∫x(28-49x^2)dx/√(28-49x^2)+ (16/1)∫xdx/√(28-49x^2)

=-(4/7)∫x√(28-49x^2)dx-392*1/49^2∫d(28-49x^2)/√(28-49x^2)

=-14*1/49^2∫√(28-49x^2)d(28-49x^2)- 784*1/49^2√(28-49x^2)

=(28/3) *1/49^2√(28-49x^2)^3-784*1/49^2*√(28-49x^2)+c

2、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=28∫x^2*xdx/√(28-49x^2)

   =-(2/7)∫x^2d(28-49x^2)/√(28-49x^2)

   =-(2/7)∫x^2d√(28-49x^2)=-(2/7)x^2√(28-49x^2)+(2/7) ∫√(28-49x^2)dx^2

   =-(2/7)x^2√(28-49x^2)-(14/1)*1/49^2∫√(28-49x^2)d(28-49x^2)

   =-(2/7)x^2√(28-49x^2)-(28/3)*1/49^2√(28-49x^2)^3+c

3、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(4/7)sint，则cost=(1/√28)√(28-49x^2),此时：

I=(784/49)*√(4/7)∫sin^3td[√(4/7)sint]/√(28-28sin^2t),

=28*(4/7)^2∫sin^3tcostdt/√28*cost,

=(784√28 /49^2)∫sin^3tdt,

=(784√28 /49^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

4、=(784√28 /49^2)∫sintdt-(784√28 /49^2)∫sintcos^2 tdt

=-(784√28 /49^2)cost+(784√28 /49^2)∫cos^2tdcost=-(784√28 /49^2)cost+(784√28 /3*49^2)cos^3t+c

 =-(784/49^2)√(28-49x^2)+(28/3)*(1/49^2)√(28-49x^2)^3+c.

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