本文通过分母因式分解及积分函数裂项等方面，以及对数函数、反正切函数等的导数公式等知识，介绍计算∫(2x-33)dx/(x^3-1)的主要步骤。
方法/步骤
1、※.积分函数的变形
因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),
所以∫(2x-33)dx/(x^3-1)=∫(2x-33)dx/[(x-1)(x^2+x+1)],
设(2x-33)/[(x-1)(x^2+x+1)]=m/(x-1)-(mx+n)/(x^2+x+1),则有：
2x-33=m(x^2+x+1)-(mx+n)(x-1)=-(2m+n)x+m-n,
2、根据对应项系数相等，有：
2m-n=2,
m+n=-33，
解该二元一次方程可得：m=-31/3,n=-68/3.
此时不定积分变形为：
∫(2x-33)dx/(x^3+1)
=(-31/3)∫dx/(x-1)-(1/3)∫(-31x-68)dx/(x^2+x+1)。
3、※.函数积分具体计算：
对∫dx/(x-1)=∫d(x-1)/(x-1)=ln|x-1|;.
对∫(-31x-68)dx/(x^2+x+1)
=1/2*∫[-31 (2x+1)-37]dx/(x^2+x+1)
=1/2*-31∫(2x+1)dx/(x^2+x+1)- 1/2* 37∫dx/(x^2+x+1)
=1/2*-31∫d(x^2+x+1)/(x^2+x+1)- 1/2* 37∫dx/[(x+1/2)^2+3/4],
=1/2*-31*ln(x^2+x+1)-1/2*37*4/3*∫dx/[4/3(x+1/2)^2+1],
=1/2*-31*ln(x^2+x+1)-1/2*37*2/√3*∫d[2/√3(x+1/2)]/{[2/√3(x+1/2)]^2+1},
4、=1/2*-31*ln(x^2+x+1)-37/√3*arctan[2/√3(x+1/2)],
所以：
∫(2x-33) dx/(x^3-1)
=-(31/3)*ln|x-1|-(1/3)*-31*ln√(x^2+x+1)+ (1/3)*37/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C，
=-(31/3)*ln|(x-1)/√(x^2+x+1)|+ (1/3)*37/√3*arctan[2/√3(x+1/2)]+C。
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