计算I=∫47x^3/√(30-6x^2)dx不定积分多种方法

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分的计算步骤。

方法/步骤

1、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求爱宿得：

I=-∫(47/6)[x(30-6x^2)-30x]dx/√(30-6x^2)

=-(47/6)∫x(30-6x^2)dx/√(30-6x^2)+ (235/1)∫xdx/√(30-6x^2)

=-(47/6)∫x√(30-6x^2)dx-(705/1)*1/6^2∫d(30-6x^2)/√(30-6x^2)

=-47*1/6^2∫√(30-6x^2)d(30-6x^2)- 1410*1/6^2√(30-6x^2)

=(94/3) *1/6^2√(30-6x^2)^3-1410 *1/6^2*√(30-6x^2)+c

2、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=47∫x^2*xdx/√(30-6x^2)

   =-(47/12)∫x^2d(30-6x^2)/√(30-6x^2)

   =-(47/12)∫x^2d√(30-6x^2)=-(47/12)x^2√(30-6x^2)+(47/12) ∫√(30-6x^2)dx^2

   =-(47/12)x^2√(30-6x^2)-(47/2)*1/6^2∫√(30-6x^2)d(30-6x^2)

   =-(47/12)x^2√(30-6x^2)-(47/3)*1/6^2√(30-6x^2)^3+c

3、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分速爱求得。

设x=√(5/1)sint，则cost=(1/√30)√(30-6x^2),此时何物脾：

I=(1410/6)*√(5/1)∫sin^3td[√(5/1)sint]/√(30-30sin^2t),

=47*(5/1)^2∫sin^3tcostdt/√30*cost,

=(1410√30 /6^2)∫sin^3tdt,

=(1410√30 /6^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

4、=(1410√30 /6^2)∫sintdt-(1410√30 /6^2)∫sintcos^2 tdt

=-(1410√30 /6^2)cost+(1410√30 /6^2)∫cos^2tdcost=-(1410√30 /6^2)cost+(1410√30 /3*6^2)cos^3t+c

 =-(1410/6^2)√(30-6x^2)+(47/3)*(1/6^2)√(30-6x^2)^3+c. 

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除