详解函数y=cos²(89x+187)的一阶导数计算过程

主要内容：  本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(89x+187)的一阶导数。

方法/步骤

1、※.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[89(x+t) +187]-cos²(89x+187)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(89x+89t+187)-cos(89x+187)]*[cos(89x+89t+187)+cos(89x+187)]}/t,

2、使用三角函数和差化积对分子有：

=lim(t→0){[cos(89x+89t+187)-cos(89x+187)]*[cos(89x+89t+187)+cos(89x+187)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[89x+187+(89t/2)]sin(89t/2)*sin[89x+187+(89t/2)]*cos(89t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[89x+187+(89t/2)]sin[89x+187+(89t/2)]* lim(t→0){2sin(89t/2)*cos(89t/2)}/t,

=-89lim(t→0)sin[2(89x+187)+89t]*lim(t→0)sin(89t)/(89t),

=-89*sin2(89x+187)*1=-89sin2(89x+187)。

3、※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(89x+187)

∴dy/dx=2*cos(89x+187)*[cos(89x+187)]’

=-2cos(89x+187)*sin(89x+187)*(89x+187)’=-89sin2(89x+187)。

4、※  .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(89x+187)=(1/2)[1+cos2(89x+187)]=1/2+(1/2)cos2(89x+187)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(89x+187)]*178

=-(1/2)*sin2(89x+187)*178=-89sin2(89x+187)。

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