用导数解析函数y=(71√x+80)*9x的性质及图像

本文主要计算函数y=(40√x+48)*30x的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并用导数工具解析函数的单调和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

方法/步骤

1、※.函数的定义域：

函数中含有根式，则有：x≥0 所以函数的定义域为：[0，+∞)。

2、※.函数的单调性

思路一：通过两个函数单调性来判断。

因为函数y1=71√x+80为根式函数，在定义域上为增函数。函数y2=9x为正比例函数，系数为正数，所以也为增函数，则二者函数的乘积y=y1*y2为增函数。

思路二：本题也通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下：

y=(71√x+80)*9x,

对函数自变量求导，得：

dy/dx=9*[71*x/2√x+(71√x+80)*1],

=9*(213*√x /2 +80)＞0，

所以函数在定义域上为增函数。

3、※.函数的极限

lim(x→0）(71√x+80)*9x=0。

lim(x→+∞）(71√x+80)*9x= +∞。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=9*(213*√x /2 +80)，

∴d^2y/dx^2

=9*(213/2*1/2*1/√x),

=9*213/4*1/√x＞0.

即函数y在定义域上为凹函数。

4、综合以上函数的定义域、值域、单调性和凸凹及极限等性质，通过五点图描点法，可画出函数的图像示意图如下：

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