方程80x²+72y²+72z²=61的一阶和二阶导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵80x²+72y²+72z²=61,

∴160xdx+144ydy+144zdz=0，即：

72zdz=-80xdx-72ydy,

dz=-10xdx/9z-1ydy/1z，所以：

dz/dx=-10x/9z，dz/dy=-1y/1z。

2、直接求导法：

80x²+72y²+72z²=61,

对方程方程两边同时对x求导，得：

160x+0+144zdz/dx=0

72zdz/dx=-80x，即：dz/dx=-10x/9z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+144y+144zdz/dy=0

72zdz/dy=-72y，即：dz/dy=-y/z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=80x²+72y²+72z²-61，则：

Fz=144z，Fx=160x，Fy=144y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-160x/144z=-10x/9z;

dz/dy=-Fy/Fz=-144y/144z=-y/z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-10x/9z，

∴∂²z/∂²x=-10/9*(z+xdz/dx)/z²

=-10/9*(z+10x²/9z)/z²

=-10/81*(9z²+10x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-y/z.

∴∂²z/∂²y=-(z+ydz/dy)/z²

=-(z+y²/z)/z²

=-(z²+y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-10x/9z，dz/dy=-y/z.

∴∂²z/∂x∂y =10/9*(xdz/dy)/z²

=10/9*(-xy/z)/z²

=-10/9*xy/z³.

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