详细计算方程54x²+13y²+70z²=55一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵耻往54x²+13y²+70z²=55,

∴108xdx+26ydy+140zdz=0，即：

70zdz=-54xdx-13ydy,

dz=-27xdx/35z-13ydy/70z，所以：

dz/dx=-27x/35z，dz/dy=-13y/70z。

2、直接求导法：

54x²+13y²+70z²=55,

对方程方程两边同时对x求导，得：

108x+0+140zdz/dx=0

70zdz/dx=-54x，即：dz/dx=-27x/35z.

再对方泛慎菊程两边同时对y求导，得：

0+26y+140zdz/dy=0

70zdz/dy=-13y，即：dz/dy=-13y/70z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=54x²+13y²+70z²-55，则：

Fz=140z，Fx=108x，Fy=26y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-108x/140z=-27x/35z;

dz/dy=-Fy/Fz=-26y/140z=-13y/70z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-27x/35z，

∴∂²z/∂²x=-27/35*(z+xdz/dx)/z²

=-27/35*(z+27x²/35z)/z²

=-27/1225*(35z²+27x²)/z³.

 三激

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-13y/70z.

∴∂²z/∂²y=-13/70*(z+ydz/dy)/z²

=-13/70*(z+13y²/70z)/z²

=-13/4900*(70z²+13y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-27x/35z，dz/dy=-13y/70z.

∴∂²z/∂x∂y =27/35*(xdz/dy)/z²

=27/35*(-13xy/70z)/z²

=-351/2450*xy/z³.

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