通过复数不等式、复数的几何意义和导数的有关知识，介绍已知复数z的模为1，求z-3+4i模的最值的主要步骤和过程。
方法/步骤
1、复数不等式思路：
用到的复数不等式为：两个复数z1,z2,则有:
||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，
对于本题有：
|z-3+4i|≤|z|+|3+4i|=1+√(3²+4²)=6.
即：|z-3+4i|的最大值=6，同时有：
|z-3+4i|≥||z|-|3+4i||=|1-|3+4i||=|1-√(3²+4²)|=4,
即：|z-3+4i|的最小值=4。
2、复数几何意义法：
|z|=a,在直角坐标系上表示的是以圆心O为圆心，半径为r=a的圆周上点构成的向量。
z-b+ci=z-(3+4i),要求其最大值或者最小值，则可以理解为求圆周上的点到定点A(3,-4)距离的最小值和最大值，设圆心01到定点A的距离为d，可知：
3、(1)圆心O与定点A的连线与圆周的交点B到定点的距离最小，最小值为|d-r|,即|z-3+4i|的最小值=|√(3²+4²)-1|=4；
(2)圆心与定点A的连线的延长线与圆的交点C到定点的距离最大，最大值为d+r，即|z-3+4i|的最大值=√(3²+4²)+1=6.
4、导数法
设z=x+yi，有x²+y²=1²,则：
z1=z-3+4i=x+yi-3+4i=(x-3)+(y+4)i，
|z1|=√(x-3)²+(y+4)²,
设f(x，y)=√(x-3)²+(y+4)²-λ(x²+y²-1²),
5、分别求f对x，y，λ的偏导数，有：
∂f/∂x=(x-3)/√(x-3)²+(y+4)²-2xλ;
∂f/∂y=(y+4)/√(x-3)²+(y+4)²-2yλ;
∂f/∂λ=x²+y²-1²;
令∂f/∂x=∂f/∂y=∂f/∂λ=0，则：
(x-3)/(y+4)=x/y,即y=-4x/3,代入x²+y²=1²得：
x²+(4x/3)²=1²,即x1,2=±3/5,
进一步求得y1=-4/5，y2=4/5.
6、(1)取x1,y1时，有：
|z1|=√(3/5-3)²+(-4/5+4)²=4,
(2)取x2,y2时，有：
|z1|=√(-3/5-3)²+(4/5+4)²=6,
可知所求的最大值为6，最小值为4。
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