方程16x²+22y²+72z²=63的多阶导数详细计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵16x²+22y²+72z²=63,

∴32xdx+44ydy+144zdz=0，即：

72zdz=-16xdx-22ydy,

dz=-2xdx/9z-11ydy/36z，所以：

dz/dx=-2x/9z，dz/dy=-11y/36z。

2、直接求导法：

16x²+22y²+72z²=63,

对方程方程两边同时对x求导，得：

32x+0+144zdz/dx=0

72zdz/dx=-16x，即：dz/dx=-2x/9z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+44y+144zdz/dy=0

72zdz/dy=-22y，即：dz/dy=-11y/36z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=16x²+22y²+72z²-63，则：

Fz=144z，Fx=32x，Fy=44y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-32x/144z=-2x/9z;

dz/dy=-Fy/Fz=-44y/144z=-11y/36z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-2x/9z，

∴∂²z/∂²x=-2/9*(z+xdz/dx)/z²

=-2/9*(z+2x²/9z)/z²

=-2/81*(9z²+2x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-11y/36z.

∴∂²z/∂²y=-11/36*(z+ydz/dy)/z²

=-11/36*(z+11y²/36z)/z²

=-11/1296*(36z²+11y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-2x/9z，dz/dy=-11y/36z.

∴∂²z/∂x∂y =2/9*(xdz/dy)/z²

=2/9*(-11xy/36z)/z²

=-11/162*xy/z³.

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除