方程50x²+53y²+43z²=85的一阶和二阶导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵50x²+53y²+43z²=85,

∴100xdx+106ydy+86zdz=0，即：

43zdz=-50xdx-53ydy,

dz=-50xdx/43z-53ydy/43z，所以：

dz/dx=-50x/43z，dz/dy=-53y/43z。

2、直接求导法：

50x²+53y²+43z²=85,

对方程方程两边同时对x求导，得：

100x+0+86zdz/dx=0

43zdz/dx=-50x，即：dz/dx=-50x/43z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+106y+86zdz/dy=0

43zdz/dy=-53y，即：dz/dy=-53y/43z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=50x²+53y²+43z²-85，则：

Fz=86z，Fx=100x，Fy=106y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-100x/86z=-50x/43z;

dz/dy=-Fy/Fz=-106y/86z=-53y/43z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-50x/43z，

∴∂²z/∂²x=-50/43*(z+xdz/dx)/z²

=-50/43*(z+50x²/43z)/z²

=-50/1849*(43z²+50x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-53y/43z.

∴∂²z/∂²y=-53/43*(z+ydz/dy)/z²

=-53/43*(z+53y²/43z)/z²

=-53/1849*(43z²+53y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-50x/43z，dz/dy=-53y/43z.

∴∂²z/∂x∂y =50/43*(xdz/dy)/z²

=50/43*(-53xy/43z)/z²

=-2650/1849*xy/z³.

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