隐函数11x^36x+73e^34y=23x^54y的导数计算

     本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数11x^36x+73e^34y=23x^54y的导数计算的主要过程和步骤。

主要方法与步骤

1、※.链式求导法

11x^36x+73e^34y=23x^54y,

隐函数变形有：

11e^(36xlnx)+ 73e^34y=23e^(54ylnx)

2、两边同时求导有：

11e^(36xlnx)*(36lnx+36x/x)+73e^34y*34y’=23e^(54ylnx)*(54y’lnx+54y/x),

396e^(36xlnx)*(lnx+1)+2482e^34y*y’=1242e^(54ylnx)*(y’lnx+y/x),

y’=[1242e^(54ylnx)*y/x-396e^(36xlnx)*(lnx+1)]/[ 2482e^34y-1242e^(54ylnx)lnx]

=2[621e^(54ylnx)*y/x-198e^(36xlnx)*(lnx+1)]/[1241e^34y-621e^(54ylnx)lnx]

=2[621*x^54y*y/x-198*x^36x*(lnx+1)]/( [1241e^34y-621*x^54ylnx)

=2[621*y*x^(54y-1) -198*x^36x*(lnx+1)]/( 1241e^34y-621*x^54ylnx)。

3、※.全微分法求导

隐函数变形为：

11e^(36xlnx)+73e^34y=23e^(54ylnx)，

使用全微分计算法，有：

11e^(36xlnx)*(36lnxdx+36dx)+2482*e^34ydy=23e^(54ylnx)*(54lnxdy+54ydx/x)

396*e^(36xlnx)*(lnx+1)dx+2482*e^34ydy=1242*e^(54ylnx)*lnxdy+1242*e^(54ylnx)ydx/x

[2482*e^34y-1242*e^(54ylnx)*lnx]dy=[1242*e^(54ylnx)y/x-396*e^(36xlnx)*(lnx+1)]dx

[2482*e^34y-1242*x^54y*lnx]dy=[1242*yx^(54y-1)- 396*x^36x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[1242*yx^(54y-1)- 396*x^36x*(lnx+1)] / [2482*e^34y-1242*x^54y*lnx]

=2 [621*y*x^(54y-1) -198*x^36x*(lnx+1)]/( 1241e^34y-621*x^54ylnx)。

4、※.函数法

设F(x,y)=11x^36x+73e^34y-23x^54y，则F对x,y的偏导数有：

F’x=11e^(36xlnx)*(36lnx+36)-23e^(54ylnx)*54y/x

=396*e^(36xlnx)(lnx+1)-1242*x^54y*y/x

=396*x^36x*(lnx+1)-1242*y*x^(54y-1),

F’y=2482*e^34y-23e^(54ylnx)* 54lnx

=2482*e^34y-1242*x^54y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y’=-F’x/ F’y

=-[396*x^36x*(lnx+1)- 1242*y*x^(54y-1)]/(2482*e^34y-1242*x^54y*lnx),

=2[621*y*x^(54y-1) -198*x^36x*(lnx+1)]/(1241e^34y-621*x^54ylnx)。

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