形如∫dx/(u-vx)不定积分的计算

本例为微积分不定积分计算，积分函数为一次函数倒数形式，并列举当系数均为整数情形、为根式情形和分数情况等不同情况下计算详细过程。

方法/步骤

1、 通用步骤推导：

∫dx/(u-vx)=-∫dx/(vx-u)

=-(1/v)∫dvx/(vx-u)

=-(1/v)∫d(vx-u)/(vx-u)

=-(1/v)ln|vx-u|+C。

2、 当系数均为整数情形

1.当u=1，v=1情形：

∫dx/(1-x)=-∫dx/(x-1)=-∫d(x-1)/(x-1)=-ln|x-1|+C。

3、2.当u=1，v=48情形：

∫dx/(1-48x)=-∫dx/(48x-1)=-(1/48)∫d48x/(48x-1)

=-(1/48)∫d(48x-1)/(48x-1)=-(1/48)ln|48x-1|+C。

4、 

3.当u=208，v=1情形：

∫dx/(208-x)=-∫dx/(x-208)=-∫d(x-208)/(x-208)=-ln|x-208|+C。

5、4.当u=135，v=380情形：

∫dx/(135-380x)=-∫dx/(380x-135)

=-(1/380)∫d380x/(380x-135)

=-(1/380)∫d(380x-135)/(380x-135)

=-(1/380)ln|380x-135|+C。

6、当两个系数均为根式情形

1.当u=√307，v=√158情形：

∫dx/(√307-√158x)=-∫dx/(√158x-√307)

=-(1/√158)∫d√158x/(√158x-√307)

=-(1/√158)∫d(√158x-√307)/(√158x-√307)

=-(1/√158)ln|√158x-√307|+C。

7、2.当u=√9252，v=√1197情形：

∫dx/(√9252-√1197x)=-∫dx/(3√133x-6√257)

=-(1/3√133)∫d3√133x/(√158x-6√257)

=-(1/3√133)∫d(3√133x-6√257)/(3√133x-6√257))

=-(1/3√133)ln|3√133x-6√257|+C。

8、当系数均为分数情况：

当u=3/29√9252，v=6/47情形：

∫dx/(3/29-6x/47)

=-∫dx/(6x/47-3/29)

=-(47/6)∫d(6x/47)/(6x/47-3/29)

=-(47/6)∫d(6x/47-3/29)/(6x/47-3/29)

=-(47/6)ln|6x/47-3/29|+C。

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