隐函数60x²+32y²+59z²=41的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数60x²+32y²+59z²=41的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵60x²+32y²+59z²=41,

∴120xdx+64ydy+118zdz=0，即：

59zdz=-60xdx-32ydy,

dz=-60xdx/59z-32ydy/59z，所以：

dz/dx=-60x/59z，dz/dy=-32y/59z。

2、直接求导法：

60x²+32y²+59z²=41,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

120x+0+118zdz/dx=0

59zdz/dx=-60x，即：dz/dx=-60x/59z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+64y+118zdz/dy=0

59zdz/dy=-32y，即：dz/dy=-32y/59z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=60x²+32y²+59z²-41，则：

Fz=118z，Fx=120x，Fy=64y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-120x/118z=-60x/59z;

dz/dy=-Fy/Fz=-64y/118z=-32y/59z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-60x/59z，

∴∂²z/∂²x=-60/59*(z+xdz/dx)/z²

=-60/59*(z+60x²/59z)/z²

=-60/3481*(59z²+60x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-32y/59z.

∴∂²z/∂²y=-32/59*(z+ydz/dy)/z²

=-32/59*(z+32y²/59z)/z²

=-32/3481*(59z²+32y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-60x/59z，dz/dy=-32y/59z.

∴∂²z/∂x∂y =60/59*(xdz/dy)/z²

=60/59*(-32xy/59z)/z²

=-1920/3481*xy/z³.

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