函数y=4^x*(x+9)的性质导数解析过程

 本文主要介绍函数y=4^x*(x+9)的定义域、单调性、凸凹性等性质,并通过导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间。其中ln4≈1.38。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

根据函数特征,函数为一次函数与指数函数的乘积,自变量x可以取全体实数,即函数y=4^x*(x+9)的定义域为:(-∞,+∞)。

2、※.函数的单调性

∵y=4^x*(x+9),

∴dy/dx=4^x*(x+9)ln4+4^x*1

   =4^x(xln4+9ln4+1),

令dy/dx=0,则xln4+9ln4+1=0,

   x0=-9/1-1/ln4≈-9.72,单调区间如下:

(1).当x∈(-∞,-9.72)时,y'<0,此时函数为减函数;

(2).当x∈(-9.72,+∞)时,y'>0,此时函数为增函数。

3、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=4^x(xln4+9ln4+1),

∴d^2y/dx^2

=4^x(xln4+9ln4+1)ln4+4^x*1ln4

=4^xln4(xln4+9ln4+1+1)

=4^xln4(xln4+9ln4+2),

令d^2y/dx^2=0,则xln4+9ln4+2=0,

x1=-9/1-2/ln4≈-10.4,凸凹区间如下:

(1).当x∈(-∞,-10.4)时,y”<0,此时函数为凸函数;

(2).当x∈(-10.4,+∞)时,y”>0,此时函数为凹函数。

4、※.函数的极限

lim(x→-∞)4^x(x+9)=0;

lim(x→0)4^x(x+9)=9;

lim(x→+∞)4^x(x+9)=+∞。

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