函数45x^2+31y^2+18z^2=84的多阶导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数45x^2+31y^2+18z^2=84的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵45x²+31y²+18z²=84,

∴90xdx+62ydy+36zdz=0，即：

18zdz=-45xdx-31ydy,

dz=-5xdx/2z-31ydy/18z，所以：

dz/dx=-5x/2z，dz/dy=-31y/18z。

2、直接求导法：

45x²+31y²+18z²=84,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

90x+0+36zdz/dx=0

18zdz/dx=-45x，即：dz/dx=-5x/2z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+62y+36zdz/dy=0

18zdz/dy=-31y，即：dz/dy=-31y/18z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=45x²+31y²+18z²-84，则：

Fz=36z，Fx=90x，Fy=62y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-90x/36z=-5x/2z;

dz/dy=-Fy/Fz=-62y/36z=-31y/18z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-5x/2z，

∴∂²z/∂²x=-5/2*(z+xdz/dx)/z²

=-5/2*(z+5x²/2z)/z²

=-5/4*(2z²+5x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-31y/18z.

∴∂²z/∂²y=-31/18*(z+ydz/dy)/z²

=-31/18*(z+31y²/18z)/z²

=-31/324*(18z²+31y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-5x/2z，dz/dy=-31y/18z.

∴∂²z/∂x∂y =5/2*(xdz/dy)/z²

=5/2*(-31xy/18z)/z²

=-155/36*xy/z³.

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