多元函数81x^2+9y^2+80z^2=90的导数计算步骤

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数81x^2+9y^2+80z^2=90的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵90x²+36y²+12z²=41,

∴180xdx+72ydy+24zdz=0，即：

12zdz=-90xdx-36ydy,

dz=-15xdx/2z-3ydy/1z，所以：

dz/dx=-15x/2z，dz/dy=-3y/z。

2、直接求导法：

90x²+36y²+12z²=41,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

180x+0+24zdz/dx=0

12zdz/dx=-90x，即：dz/dx=-15x/2z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+72y+24zdz/dy=0

12zdz/dy=-36y，即：dz/dy=-3y/z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=90x²+36y²+12z²-41，则：

Fz=24z，Fx=180x，Fy=72y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-180x/24z=-15x/2z;

dz/dy=-Fy/Fz=-72y/24z=-3y/z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-15x/2z，

∴∂²z/∂²x=-15/2*(z+xdz/dx)/z²

=-15/2*(z+15x²/2z)/z²

=-15/4*(2z²+15x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-3y/z.

∴∂²z/∂²y=-3*(z+ydz/dy)/z²

=-3*(z+3y²/z)/z²

=-3*(z²+3y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-15x/2z，dz/dy=-3y/z.

∴∂²z/∂x∂y =15/2*(xdz/dy)/z²

=15/2*(-3xy/z)/z²

=-45/2*xy/z³.

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