计算√1827的近似值

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式√1827的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√1827=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√1764=42,

√1827=x,

√1849=43,用线性穿插得：

(1827-1764)/(1849-1827)=(x-42)/(43-x)

63(43-x)=22(x-42)

85x=3633

x=3633/85≈42.7412.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√1827-√1764=(1827-1764)/(2√1764)

√1827=√1764+63/(2*42)

√1827=42+3/4≈42.7500.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√1827=√(1764+63）

√1827=√[1764(1+63/1764）]

=42√(1+63/1764）

=42*[1+63/(2*1764)]

=42+3/4≈42.7500.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

5、对于本题，x=1827，x₀=1764,x-x₀=63,代入得：

√1827

≈√1764+(63/2)*1764^(-1/2)-(1/8)*63²*1764^(-3/2)

≈42+(63/2)*42⁻¹-(1/8)*63²*42⁻³

≈42+3/4-63²/(8*42³)

即：√1827≈42.7433。

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