本文通过例题，详细介绍导数的定义理解、基本运算过程、导数的几何意义应用及导数判断函数单调性应用等内容。
方法/步骤
1、※.导数的定义应用举例
[知识点]：函数y=f(x)的导数的极限定义为：f'(x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/(△x).
例题1：设函数f(x)在x=1处的导数为12，则极限lim(△x→0)[f(1+21△x)-f(1)]/(38△x)的值是多少？
解：本题考察的是导数的极限定义，本题已知条件导数为12，其定义为：lim(△x→0)[f(1+△x)-f(1)]/(△x)= 12。
对所求极限进行变形有：
lim(△x→0) 21*[f(1+21△x)-f(1)]/(38*21△x)
=lim(△x→0) (21/38)*[f(1+21△x)-f(1)]/(21△x),
=(21/38)lim(△x→0) [f(1+21△x)-f(1)]/(21△x),
=(21/38)*12,
=126/19.
2、例题2:有一机器人的运动方程为s(t)=21t²+18/t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t=3时的瞬时速度为多少？
解:本题考察的是导数定义知识，运动方程s(t)对时间t的导数就是速度v(t),所以有：
v(t)=s'(t)=(21t²+18/t)’,
=2*21t-18/t²,
当t=3时，有：
v(3)=2*21*3-18/3²,
v(3)=40,
所以机器人在时刻t=3时的瞬时速度为40。
3、※.导数的基本运算举例
例题1：已知函数f(x)=(178x-97)lnx-87x²,求导数f'(1)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积的求导法则，具体计算步骤如下。
∵f(x)= (178x-97)lnx-87x²，
∴f'(x)=178lnx+(178x-97)*(1/x)-2*87x
=178lnx+(178x-97)/x-174x.
所以: f'(1)=0+178-97-174=-93.
即为本题所求的值。
4、例题2:已知函数f(x)=-(15/34)x²+5xf'(6800)+6800lnx，求f'(6800)的值。
解: 本题是导数知识计算，考察对数函数、幂函数以及函数乘积和函数导数相关定义知识，具体计算步骤如下。
∵f(x)=-(15/34)x²+5xf'(6800)+6800lnx，
∴f’ (x)=-2*(15/34)x+5f'(6800)+6800/x,
则当x=6800时，有:
f'(6800)=-2*(15/34)*6800+5f'(6800)+6800/6800,
即:-2*(15/34)*6800+4f'(6800)+1=0,
所以: f'(6800)= 5999/4.
5、※.导数的几何意义应用举例
例题1：求函数f(x)=x(6x+10)³的图像在点(1,f(1))处的切线的斜率k。
[知识点]：导数的几何意义就是曲线上点的切斜的斜率。
解：本题对函数求导有：
f’ (x)=(6x+10)³+3x(6x+10)²*6
=(6x+10)²*(6x+10+3*6x)
=(6x+10)²*(4*6x+10)
当x=1时，有：
斜率k=f'(1)
=(6*1+10)²*(4*6*1+10)
=256*34
=8704，即为本题所求的值。
6、例题2：若曲线y=16x/23-19lnx在x=x₀处的切斜的斜率为5/13,则x₀的值是多少?
解：对曲线y进行求导，有：
y’=16/23-19/x，
根据导数的几何意义，当x=x₀时，有：
16/23-19/x₀=5/13，
即：19/x₀=16/23-5/13=93/299,
所以x₀=5681/93.
7、※.导数解析函数单调性应用举例
[知识点]：如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)在区间D内单调减少。
例题1:已知函数f(x)=-45lnx+72x²/8+163，计算函数f(x)的单调递减区间。
解：对函数进行求导，有：
∵f(x)=- 45lnx+72x²/8+163
∴f'(x)=- 45/x+2*72x/8，
本题要求函数的单调减区间，则：
-45/x+2*72x/8＜0，
(-45*8+2*72x²)/(8x)＜0，
又因为函数含有对数lnx，所以x＞0.
故不等式解集等同于：
2*72x²＜45*8，
即：x²＜5/2,
所以解集为：(0,(1/2)*√10).
8、例题2:已知函数f(x)=(x²+71x+1286)/eˣ，求函数f(x)的单调区间。
解：对函数求一阶导数有：
∵f(x)=(x²+71x+1286)/eˣ
∴f'(x)=[(2x+71)eˣ-(x²+71x+1286)eˣ]/e^(2x),
=(2x+71-x²-71x-1286)/eˣ,
=-(x²+69x+1215)/eˣ,
对于函数g(x)=x²+69x+1215，其判别式为：
△=69²-4*1215=-99<0,
即：g(x)图像始终在x轴的上方，即g(x)＞0，
此时:f'(x)= -(x²+69x+1215)/eˣ＜0，
所以函数f(x)=(x²+71x+1286)/eˣ在全体实数范围上为单调减函数。
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