不定积分21x³.√30-2x²的计算

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫21x³/√30-2x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(21/2)[x(30-2x^2)-30x]dx/√(30-2x^2)

=-(21/2)∫x(30-2x^2)dx/√(30-2x^2)+315∫xdx/√(30-2x^2)

=-(21/2)∫x√(30-2x^2)dx-315/*1/2^2∫d(30-2x^2)/√(30-2x^2)

=-21*1/2^2∫√(30-2x^2)d(30-2x^2)- 630*1/2^2√(30-2x^2)

=14*1/2^2√(30-2x^2)^3-630*1/2^2*√(30-2x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=21∫x^2*xdx/√(30-2x^2)

   =-(21/4)∫x^2d(30-2x^2)/√(30-2x^2)

   =-(21/4)∫x^2d√(30-2x^2)=-(21/4)x^2√(30-2x^2)+(21/4) ∫√(30-2x^2)dx^2

   =-(21/4)x^2√(30-2x^2)-(21/2)*1/2^2∫√(30-2x^2)d(30-2x^2)

   =-(21/4)x^2√(30-2x^2)-7*1/2^2√(30-2x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√15sint，则cost=(1/√30)√(30-2x^2),此时：

5、I=(630/2)*√15/∫sin^3td[√15sint]/√(30-30sin^2t),

=21*15^2∫sin^3tcostdt/√30*cost,

=(630√30 /2^2)∫sin^3tdt,

=(630√30 /2^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(630√30 /2^2)∫sintdt-(630√30 /2^2)∫sintcos^2 tdt

=-(630√30 /2^2)cost+(630√30 /2^2)∫cos^2tdcost=-(630√30 /2^2)cost+(630√30 /3*2^2)cos^3t+c

 =-(630/2^2)√(30-2x^2)+7*(1/2^2)√(30-2x^2)^3+c. 

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