一元函数单调性与单调区间求解例题解析O

      本文通过导数知识，介绍一元函数单调性与单调区间的计算步骤，通过6种函数进行例题解析。

主要方法步骤

1、例题1：讨论y=e^x-3x-1的单调性。

解：y=e^x-3x-1,则y´=e^x-3.

令y´=0，则x=ln3.

2、例题2：讨论函数f(x)=3x^3-3x^2+1的单调性。

解：y=3x^3-3x^2+1,

y´=9x^2-6x=3x(3x-2).

令y´=0，即x1=0,x2=2/3，则：

(1)当x∈(-∞，0]，[2/3,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，2/3)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

3、例题3：判断y=(2/3)x^3+(3/2)x^2的单调性。

解：y=(2/3)x^3+(3/2)x^2,

y´=2x^2+3x=x(2x+3).

令y´=0，即x1=-3/2,x2=0，则：

(1)当x∈(-∞，-3/2]，[0,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-3/2，0)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

4、例题4：求函数f(x)=(x+4)(x+5)^(2/3)的单调区间。

解：y=(x+4)(x+5)^(2/3).

y´=(x+5)^(2/3)+(2/3)(x+4)(x+5)^(-1/3)

=(1/3)(x+5)^(-1/3)*(5x+23).

令y´=0，即x1=-23/5，又x2=-5处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，-5]，(-23/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-5，-23/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

5、例题5：求f(x)=x^2(x-4)^2的单调区间。

解：y=x^2(x-4)^2,

y´=2x(x-4)^2+2x^2(x-4)=2x(x-4)(2x-4).

令y´=0，即x1=0，x2=2，x3=4则：

(1)当x∈(0，2],(4,+∞）时，y´＞0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-∞，0]，[2,4]时，y´≤0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

6、例题6：讨论y=(x-1)3√x^2的单调性。

解：y=(x-1)x^(2/3).

y´=x^(2/3)+(2/3)(x-1)x^(-1/3)

=(1/3)x^(-1/3)*(5x-2).

令y´=0，即x1=2/5，又x2=0处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，0)，[2/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，2/5)时，y´＜0，此时函数为减函数。

7、主要步骤为：

1.求函数的一阶导数。

2.由一阶导数为0，求解函数的驻点，同时注意导数不存在的点。

3.以函数的驻点、导数不存在的点，并结合函数的定义域，判断函数导数与0的关系，即可得到函数的单调性和单调区间。

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